В американской телеигре ведущий по имени Монти Холл предлагал участнику три двери. За одной стоял автомобиль, за двумя другими — козы. Игрок выбирал дверь, после чего ведущий открывал одну из оставшихся — обязательно с козой — и предлагал: «Хотите изменить свой выбор на другую закрытую дверь?» Вопрос простой: стоит ли менять?
Почти все отвечают, что всё равно: осталось две двери, значит, шанс 50 на 50. Но правильный ответ другой — менять выгодно, это удваивает вероятность выигрыша. Задача настолько противоречит интуиции, что когда её разбор опубликовали в журнале, тысячи читателей, включая людей с учёными степенями, писали, что это ошибка. Поэтому задачу называют парадоксом.
Тема интересна и актуальна, потому что показывает: наша интуиция в вопросах вероятности часто ошибается, и доверять нужно расчёту и опыту. Это полезный навык — не поддаваться «очевидному», а проверять.
1.2. Гипотеза, цель и задачи
Гипотеза. Если в игре Монти Холла всегда менять дверь после подсказки ведущего, то выигрывать можно примерно в двух случаях из трёх (около 67%), а если всегда оставлять свою — лишь в одном из трёх (около 33%). Значит, менять вдвое выгоднее, хотя интуитивно кажется, что это безразлично.
Цель работы — доказать, что смена двери увеличивает вероятность выигрыша, объяснить причину и подтвердить вывод компьютерным экспериментом на большом числе партий.
Задачи:
изучить условие задачи и разобрать её математически;
провести опрос и узнать, как отвечают люди до объяснения;
сделать программу, которая играет в Монти Холла и ведёт статистику;
провести эксперимент на тысячах партий для двух стратегий;
проверить, что будет при большем числе дверей;
сравнить опыт с расчётом и сделать выводы.
1.3. Методы исследования
изучение литературы и интернет-источников по теории вероятностей;
анкетирование (опрос одноклассников и знакомых);
создание программы-эмулятора и компьютерный эксперимент (имитационное моделирование);
сравнение результатов опыта с теоретическим расчётом.
2. Теоретическая часть
2.1. Условие задачи
Есть три двери. За одной — приз, за двумя — козы. Игрок выбирает одну дверь, но не открывает её. Ведущий, который знает, где приз, открывает одну из двух оставшихся дверей — обязательно с козой. Затем игроку предлагают либо оставить свою дверь, либо поменять её на вторую закрытую. Нужно понять, какая стратегия выгоднее.
2.2. Разбор трёх случаев
Ключевая мысль: первый выбор игрок делает вслепую, когда вероятность угадать приз равна 1/3. Значит, в двух случаях из трёх приз находится за другой дверью. Разберём все три равновероятных случая, считая, что игрок сначала выбрал дверь №1.
Таблица 1. Все три равновероятных случая. Стратегия «оставить» выигрывает один раз из трёх, «поменять» — два раза из трёх.
Из разбора видно: стратегия «оставить» приводит к выигрышу только в одном случае из трёх, то есть с вероятностью
P(оставить) = 13 ≈ 33%, P(поменять) = 23 ≈ 67%.
Смена двери выигрывает вдвое чаще. Это и есть математический ответ на задачу.
2.3. Почему ведущий «отдаёт» вероятность
Почему же вторая дверь становится выгоднее, ведь дверей осталось две? Дело в том, что ведущий действует не случайно: он знает, где приз, и всегда открывает козу. Тем самым он не добавляет случайности, а передаёт информацию. Вероятность 2/3, которая была «размазана» по двум невыбранным дверям, целиком собирается на той единственной двери, которую ведущий оставил закрытой.
Нагляднее всего это видно, если дверей не три, а сто. Игрок выбирает одну дверь — вероятность угадать приз всего 1%. Ведущий открывает 98 пустых дверей, оставляя закрытыми выбор игрока и ещё одну дверь. Почти наверняка (в 99 случаях из 100) приз именно за той, другой дверью. Менять очевидно выгодно. Этот же механизм, только менее заметный, работает и при трёх дверях.
3. Практическая часть
3.1. Опрос: как думают люди
Прежде чем показывать правильный ответ, я провела опрос: как бы человек поступил в этой ситуации — оставил дверь, поменял или считает, что без разницы. Для опроса в программе есть отдельная вкладка, где каждый ответ отмечается кнопкой и строится диаграмма. Опрос подтвердил, что большинство людей выбирают «оставить» или «без разницы», то есть интуитивно отвечают неверно. Это и есть причина, по которой задачу называют парадоксом.
3.2. Программа-эмулятор и эксперимент
Главный инструмент работы — программа, которая открывается в браузере и работает без интернета. В ней можно сыграть самому (и статистика по решениям копится), провести опрос, а главное — запустить серию из тысяч партий.
В эксперименте компьютер играет сам за двух игроков: один всегда меняет дверь, другой всегда оставляет. Так можно сыграть не десяток партий руками, а десятки тысяч, и увидеть, к каким числам стремится доля побед. Программа строит график, как доля побед меняется по ходу игры, проводит пять независимых серий для проверки устойчивости результата и позволяет сохранить все данные в файл. Отдельно проверяется случай с 5, 10 и 100 дверями.
4. Результаты и их анализ
4.1. Сходимость доли побед
На рисунке 1 показано, как меняется доля побед по мере роста числа сыгранных партий.
Рисунок 1. Доля побед для двух стратегий. Вначале линии прыгают из-за случайности, но с ростом числа партий выходят на 66,7% (менять) и 33,3% (оставить).
Видно важное свойство: когда партий мало, результат сильно зависит от везения и может быть каким угодно. Но чем больше партий, тем ближе доля побед подходит к теоретическому значению. Это проявление закона больших чисел: при многократном повторении опыта средний результат стремится к вероятности.
4.2. Повторные серии
Чтобы убедиться, что результат не случайность, программа провела пять независимых серий по 10 000 партий (таблица 2).
Таблица 2. Пять независимых серий по 10 000 партий. Доля побед при смене двери каждый раз около 66–67%.
Во всех пяти сериях стратегия «менять» давала около 66–67% побед, а «оставить» — около 33–34%. Разброс небольшой, значит, результат устойчив и близок к расчётным 2/3 и 1/3.
4.3. Больше дверей — нагляднее выгода
Таблица 3. Доля побед при разном числе дверей (по 20 000 партий). Опыт совпадает с теоретической формулой (N−1)/N.
Эксперимент подтвердил и общий случай: при N дверях смена выигрывает с вероятностью (N−1)/N. Для 100 дверей это 99% — менять почти всегда правильно. Опытные значения (65,9%, 80,3%, 90,3%, 99,0%) практически совпали с расчётными.
Главный итог опыта. И график сходимости, и пять серий, и проверка с разным числом дверей дали один и тот же ответ: смена двери выигрывает примерно в два раза чаще, чем её сохранение. Расчёт и эксперимент совпали.
5. Заключение
В ходе работы я:
изучила условие парадокса Монти Холла и разобрала его по трём случаям;
объяснила, почему ведущий своим действием передаёт вероятность второй двери;
провела опрос и убедилась, что интуитивно люди отвечают неверно;
сделала программу-эмулятор и провела эксперимент на десятках тысяч партий;
проверила результат пятью сериями и случаем с разным числом дверей.
Гипотеза подтвердилась. И математический расчёт, и компьютерный эксперимент показали: менять дверь выгодно — это даёт около 67% побед против 33% при стратегии «оставить». Чем больше партий, тем точнее доля побед выходит на 2/3, что согласуется с законом больших чисел.
Главный вывод работы шире самой задачи: интуиция в вопросах вероятности часто обманывает, и правильный ответ даёт не «здравый смысл», а расчёт и проверка опытом. Этот подход — сначала посчитать и проверить, а потом доверять — пригодится в любой науке и в жизни.
Что можно изучить дальше: как изменится ответ, если ведущий открывает дверь случайно и иногда показывает приз; другие вероятностные парадоксы (задача о днях рождения, парадокс двух конвертов); применение закона больших чисел в статистике.
